Fourierjeva vrsta
Kako z neskončno sinusov sestaviti kateri koli ponavljajoči signal — celo pravokotni val in žagasti val.
Predpogoji: udobnost z grafi. Sinusi so predstavljeni na 1. stopnji.
Na prvi stopnji smo spoznali sinusni val in Fourierjev drzni napotek: vsak periodičen signal je vsota sinusov. Zdaj pa preverimo, ali to drži — z rokami. Kaj se zgodi, ko vzamemo cel kup sinusov in jih zložimo skupaj? Ali res dobimo nekaj zanimivega? In zakaj bi nas to moralo presenetiti?
Začnimo z najpreprostejšim primerom. Vzamemo sinus z osnovno frekvenco — recimo 1 Hz — in ga imenujemo osnovni harmonik. Dodamo mu sinus s trikratno frekvenco (3 Hz), ampak z manjšo amplitudo. Potem petkratno (5 Hz), sedmikratno (7 Hz)... Samo lihe večkratnike. Z vsako dodanim sinusom se sestojna vsota vedno bolj opazno obreza, ostri in pridobiva pravo obliko.
Ta oblika je pravokotni val. In to ni naključje.
Sestavite pravokotni val sami
Spodaj vidite harmonike enega za drugim. Z drsnikom nastavite, koliko harmonikov vključite — in opazujte, kako se vsota (bela krivulja) vse bolj približuje ostremu pravokotnikemu skoku.
Opazili ste verjetno tisto čudno "uho" pri skoku — majhno konico, ki se ne poravna, ne glede na to, koliko harmonikov dodate. To ni napaka. To je slavni Gibbsov pojav, imenovan po fiziku J. Willard Gibbsu, ki ga je opisal leta 1899. Neskončna vrsta sicer konvergira k pravemu skoku, a tista konica pri skoku ostane — vedno enako visoka, le vedno tanjša.
Fourierjeva vrsta konvergira k pravi vrednosti povsod razen točno pri skoku. Tam oscilira. Ko seštevamo vedno več harmonikov, se konica ne izgine — le postane vedno tanjša. Amplituda konice konvergira k vrednosti, ki je za dobrih 9 % višja od idealne vrednosti skoka. To velja ne glede na to, koliko harmonikov dodamo.
Zakaj? Ker gladki sinusi preprosto ne morejo opisati neskončno ostrega roba v končnem koraku. Ko pa jih je neskončno, vrsta res konvergira — a le v smislu "skoraj povsod", ne v smislu "na vsaki posamezni točki". Ta razlika je bila v 19. stoletju matematično izjemno boleča — in je prisilila matematike, da so na novo opredelili sam pojem konvergence.
Praktično: v JPEG in MP3 kompresiji je Gibbsov pojav razlog, zakaj pri ostrih robovih v slikah ali nenadno glasnih zvokih včasih opazite "oreole" ali popačenja — to so sledi končnega števila harmonikov.
Formula za pravokotni val
Ni to le neka lepa naključnost. Fourier je pokazal, da za pravokotni val z amplitudo 1 velja:
= (4/π) · Σ sin((2k-1)t) / (2k-1) za k = 1, 2, 3, …
Koeficienti — 1, 1/3, 1/5, 1/7, … — niso čarobni. Fourier je pokazal postopek, s katerim jih izračunamo za kateri koli ponavljajoči signal. To je jedro Fourierjevih vrst: ne le da vrsta obstaja, ampak da vemo, kako določiti vsak posamezni koeficient.
Ključna misel: Koeficient ob vsakem sinusu nam pove, "koliko" te frekvence je v signalu. To je že zametke ideje o spektru — ki jo bomo popolnoma razvili na naslednji stopnji.
Žagasti val in drugi signali
Pravokotni val je le eden od primerov. Fourierjeva vrsta deluje za vsak signal, ki se ponavlja — ne glede na obliko. Spodaj izberite signal in opazujte, kateri harmoniki ga sestavljajo. Spekter na dnu prikazuje amplitudo vsakega harmonika.
Opazite vzorce v spektru: pravokotni val ima le lihe harmonike (1., 3., 5., …), žagasti val ima vse harmonike (padajoče), trikotni val ima le lihe, a padajo hitreje (z 1/n²). Vsaka oblika ima svoj podpis v frekvenčnem prostoru — in po tem podpisu ga prepoznamo.
To je posledica simetrije. Pravokotni val je lihosimetričen: f(t) = −f(t + T/2). Prevedeno: desna polovica cikla je zrcalna slika leve. Ta simetrija matematično zahteva, da so vsi sodi koeficienti nič — ostanejo le lihi.
Žagasti val nima take simetrije: vsak cikel naredi enakomeren vzpon, ki mu sledi hiter padec. Ker ni zrcalne simetrije, so prisotni vsi harmoniki (1., 2., 3., …), le z amplitudami 1/n.
Trikotni val je lihosimetričen kot pravokotni (torej le lihi harmoniki), a je "gladkejši" — nima ostrih skokov. Gladkost se v Fourierjevem spektru izrazi kot hitrejše upadanje koeficientov: pri trikotnem valu je koeficient n-tega harmonika sorazmeren z 1/n², pri pravokotnem pa le z 1/n. Gladkejši signal → koeficienti padajo hitreje. To je splošno načelo, ki ga bomo srečali na 3. stopnji.
Sestavite lasten signal
Zdaj pa obrnite postopek: ne začnete s signalom in iščete harmonike — začnete s harmoniki in gradite signal. Vsak drsnik nadzira amplitudo enega harmonika. Sestavite, kar želite.
Fascinantno: ko imate npr. samo harmonik 1 (osnovno frekvenco), dobite čisti sinus. Dodajte harmonik 3 z amplitudo 0.33 — signal se začne "ravnati". Dodajte 5 z 0.2 — spet bolj raven. To je Fourierjeva vrsta v akciji, ki jo gradite z lastnimi rokami.
Kaj pa neperiodični signali?
Tu naletimo na mejo Fourierjevih vrst. Vse, kar smo videli, deluje za signale, ki se ponavljajo — ki imajo neko osnovno periodo T. Pravokotni val se ponavlja vsako sekundo. Žagasti val prav tako. Fourierjeva vrsta razstavi ta ponavljajoči vzorec na diskretne frekvence: 1 Hz, 3 Hz, 5 Hz itd.
A kaj pa enkratni impulz? Eksplozija? Človeška beseda "zdravo", ki se ne ponavlja? Fotografija, ki je edinstvena in ne periodična?
Za to Fourierjeva vrsta ne zadostuje. Potrebujemo kaj bolj zmogljivega — Fourierjevo transformacijo. Ta naredi za neperiodične signale isto, kar vrsta za periodične, le da namesto diskretnih harmonikov dobimo zvezni spekter. To je naslednja stopnja.
Fourier je pokazal eleganten trik: da izvlečemo amplitudo določene frekvence iz signala, pomnožimo signal z sinusom ali kosinusom tiste frekvence in ga integriramo čez celotno periodo. Matematično:
aₙ = (2/T) · ∫ f(t) · cos(2πnt/T) dt
bₙ = (2/T) · ∫ f(t) · sin(2πnt/T) dt
Zakaj to deluje? Ker sinusi z različnimi frekvencami so ortogonalni — njihov integral produkta čez periodo je nič, razen ko sta frekvenci enaki. To je isti princip kot pri Pitagorovem izreku za pravokotne vektorje: komponente se ne "mešajo". Vsak harmonik "sliši" le sebe. Ta lastnost — ortogonalnost — je tista, ki naredi Fourierjevo razstavitev možno in enolično.
Kar zdaj veste
Fourierjeva vrsta razstavi vsak periodičen signal na diskretne sinusne harmonike, vsak z določeno amplitudo in fazo. Koeficienti teh harmonikov so "receptura" signala — skupaj tvorijo spekter. Pravokotni val vsebuje le lihe harmonike, žagasti vse, trikotni le lihe a z redkejšimi amplitudami. Na naslednji stopnji razširimo ta aparat na signale, ki se ne ponavljajo — in tam se rodi Fourierjeva transformacija.